ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহি:স্থ কোণের পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি

উপপাদ্য ৮. যদি কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত বাহু দুইটিও পরস্পর সমান হবে।

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, ABC ত্রিভুজে ∠ABC = ∠ACB

প্রমাণ করতে হবে যে, AB = AC ।

প্ৰমাণ :

ধাপ ১. যদি AB = AC হয়, তবে (i) AB > AC অথবা (i) AB < AC হবে।

মনে করি, (i) AB > AC AB থেকে AC এর সমান AD কেটে নিই। এখন, ADC ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু। সুতরাং

∠ADC = ∠ACD [$\therefore$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয় সমান]

∆DBC এর বহিঃস্থ কোণ ∠ADC > ∠ABC [$\therefore$ বহিঃস্থ কোণ অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপেক্ষা বৃহত্তর]

$\therefore$ ∠ACD > ∠ABC । সুতরাং, ∠ACB > ∠ABC, কিন্তু তা প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ২. অনুরূপভাবে, (ii) AB < AC হলে দেখানো যায় যে

∠ABC > ∠ACB, কিন্তু তাও প্রদত্ত শর্তবিরোধী।

ধাপ ৩. সুতরাং, AB > AC অথবা AB < AC হতে পারে না।

$\therefore$ AB = AC (প্রমাণিত)